viernes, 3 de junio de 2011

TEORÍA DE JUEGOS

HISTORIA

Biografía de Jhon Von Neumann
(1903 -1957)

Nació en Hungría en 1903, vivo en Alemania hasta los 27 años.  Sus profesores desde la escuela primaria reconocieron su talento para las matemáticas.  Su padre, un rico banquero, contrato profesores universitarios para que le dieran clases particulares de matemáticas.  Cuando contaba con 19 años de edad ya había publicado su primer artículo y fue reconocido como matemático profesional.  Recibió un doctorado en filosofía en el área de las matemáticas en la Universidad de Berlín.
Von Neumann emigro a Estados Unidos en 1930, y llego a ser catedrático en la Universidad de Princeton. 3 años después, se le extendió una invitación para ingresar al nuevo instituto de estudios avanzados de Princeton, donde permaneció el resto de su vida.
Cuando estallo la segunda guerra mundial Von Neumann, un judío alemán, participó en diferentes proyectos científicos relacionados con la causa de la guerra, y principalmente con la creación de la bomba de hidrogeno en los Álamos.
Su teoría de juegos sorprendió a la comunidad científica porque proporcionaba un análisis estratégico de un tema que parecía escapar al análisis: los juegos de habilidad.  Además, la teoría de juegos influyo significativamente en la economía, donde fue aplicada a situaciones competitivas semejantes a los juegos.  De hecho, Von Neumann y Oskar Morgenstern, economista de Princeton, escribieron un libro sobre teoría de juegos y sus aplicaciones a la economía, titulado “teoría de juegos y comportamiento económica”.
Von Neumann escribió cerca de 150 artículos sobre matemáticas, física, y ciencias de la computación.  Murió en 1957.


Biografía de Oskar  Morgenstern
(1902-1976)

Nació en Gorlitz, Silesia, estudio en las universidades de Viena, Harvard y New York.  Fue Miembro de la Escuela Austriaca y avezado matemático, participo en los famosos “Coloquios de Viena” organizados por Karl Menger (hijo de Carl Menger) que colocaron en contacto científicos de diversas disciplinas, de cuya sinergia se sabe que surgieron multitud de nuevas ideas e incluso nuevos campos científicos.
Emigro a Estados Unidos durante la Segunda Guerra Mundial ejerciendo la docencia en Princeton. Para 1944 publico conjuntamente con John von Neumann titulado “teoría de juegos y comportamiento económica”  en el cual explican dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos como el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar para cada jugador una estrategia óptima. Lo que es mejor para un jugador depende de lo que los otros jugadores piensan hacer, y esto a su vez depende de lo que ellos piensan del primer jugador hará.
En la segunda parte del libro se desarrolla el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta óptima en juegos con muchos jugadores. Puesto que éste es un problema mucho más difícil, no es de sorprender que sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores. En particular, Von Neumann y Morgenstern abandonaron todo intento de especificar estrategias óptimas para jugadores individuales. En lugar de ello se propusieron a clasificar los modelos de formación de coaliciones que son consistentes con conductas racionales.

CONCEPTOS

Juegos de suma cero:
Suma cero describe una situación en la que la ganancia o pérdida de un participante se equilibra con exactitud con las pérdidas o ganancias de los otros participantes.
Se llama así; porque si se suma el total de las ganancias de los participantes y se resta las pérdidas totales el resultado es cero.

Matriz de pago:

La matriz de pagos de un juego bipersonal de suma cero tiene reglones etiquetados por las acciones del "jugador renglón" y columnas etiquetadas por las acciones del su contrincante, el "jugador columna."

Jugador columna
Jugador renglón

E1
E2
E1
3
2
E2
4
-9

 Los valores positivos indican que el ganador el es jugador renglón, los valores negativos indican que el ganador en el jugador columna.

Punto de silla, juego estrictamente determinado:
Un punto de silla es un pago que está simultáneamente un mínimo de su renglón y un máximo de su columna.

Un juego es estrictamente determinado si tiene por lo menos un punto de silla. Las siguientes condiciones se aplican a los juegos estrictamente determinados:
1. Todos los puntos de silla en un juego tienen los mismos valores de pago.
2. Elegir el renglón y la columna que pasan por cualquier punto de silla de estrategias minimax para ambos jugadores. Es decir, el juego es solucionado por el uso de estas estrategias puras.
El valor de un juego estrictamente determinado es el valor del punto de silla. Un juego justo tiene un valor igual a cero, si no, es injusto o parcial.


Jugador columna
Jugador renglón

E1
E2
Minimax
E1
3
2
2
E2
4
-9
-9
Maximin
4
2

En este caso podemos observar que el jugador renglón al aplicar la estrategia 1 siempre ganará mientras que al aplicar la estrategia 2 corre el riesgo de que el jugador columna utilice la 2 y así sea este último quien gane, por tal motivo,  el razonamiento más lógico por parte del jugador renglón es jugar siempre la estrategia 1 por  lo cual el jugador columna al observar este comportamiento tendería a aplicar la estrategia 2 ya que es la que le ofrece menos pérdidas (jugador columna pierde 2 y el jugador renglón gana 2). Este es un juego estrictamente determinado puesto que ya se sabe cual será el resultado. 

En este tipo de estrategia para determinar el valor del juego basta con aplicar dos criterios,le minimax y maximini. 
Un jugador quien usa el criterio minimax escoge una estrategia que, entre todas las estrategias posibles, minimiza el daño de la mejor contra-estrategia del otro jugador. Es decir, una estrategia óptima según el criterio minimax es una que minimiza el daño máximo que puede hacer el contrincante.El maximini implica todo lo contrario. Entonces para identificar el valor esperado del juego estrictamente determinado aplicamos el criterio minimax para el jugador columna y el maximini para el jugador renglón.  Aplicando estos criterios observamos que el valor para cada uno es el mismo 2 y es este el valor esperado del juego.

Una estrategia pura:
Es aquella que se da cuando el jugador utiliza la misma estrategia o acción en cada turno.


Juegos no estrictamente determinados:
Esta clase de juegos tiene más de una alternativa de juego por la que los jugadores podrian ganar, por lo que no están obligados a siempre jugar con la misma estrategia, no presentan un punto silla por que el número menor de todos los máximos de las columnas no es igual al número mayor de los menores de los renglones, dando como resultado un juego no estrictamente determinado.

Eliminación de las estrategias dominadas:
Existen juegos con estrategias las cuales los jugadores nunca escogerán por tener una mejor opción (estrategia con mayor ganancia), estas estrategias se denominan dominadas, y aquellas las cuales siempre están encima por ofrecer mayor ganancia son las dominantes.

Ejemplo.


Jugador columna
Jugador Renglón

E1
E2
E3
E4
E5
E6
E1
1
2
3
4
5
6
E2
-1
2
4
5
5
5
E3
0
1
1
1
1
1
E4
3
0
0
1
1
0
Teniendo esta seria de estrategias para cada jugador podemos determinar cual de ellas son dominantes. Como sabemos para que una estrategia sea dominante debe superar en todos los aspecto a la otra.
Desde el punto de vista del jugador renglón podemos comparar la estrategia 3 con la 1. Al ver valor por valor vemos que los de la fila 1 son mayores que los de la fila 3, por tal razón la estrategia 1 del jugador renglón es dominante con respecto a la estrategia 3 y la podemos eliminar (E1j renglón D---> E3j renglón. Así podemos hacer con cada estrategia del jugador renglón. 



Jugador columna
Jugador Renglón

E1
E2
E3
E4
E5
E6
E1
1
2
3
4
5
6
E2
-1
2
4
5
5
5
E4
3
0
0
1
1
0

De igual manera se hace con el jugador columna pero recordando que los valores positivos de la matriz indican cuanto pierde el jugador, es decir esta vez se  harán las comparaciones por columna y será dominante  aquella que valor a valor sea menor. Ejemplo en la tabla anterior mostrada la columna 2 domina a la 4.E2j columna D-àE4j columna, por lo cual podríamos eliminar la columna 4.


Estrategias mixtas:

En la teoría de juego el objetivo para los jugadores es siempre escoger la estratégica optima, si el juego es estrictamente determinado, siempre habrá una estrategia pura, por lo que no habrá cambios de esta, sin embargo se podría tener situaciones en donde el juego no es estrictamente determinado y por consiguiente el oponente no está sujeto a una sola estrategia, al conocer ya la adoptada por el jugador, este oponente podría cambiar a otra estrategia que le traería mayores beneficios a él y menores al jugador, debido a esto, es necesario que este adopte un cambio de estrategias continuamente, obteniendo así un juego de estrategias mixtas.

Estrategia aleatoria:
Es aquella en donde el jugador renglón elige un renglón al azar, de acuerdo con cierta distribución de probabilidad.

Estrategias aleatorias y puras:
Si un jugador renglón adopta una estrategia aleatoria, el jugador columna puede responder con una estrategia pura o con una aleatorizada.

Una estrategia pura es un término empleado para designar un tipo de estrategias en teoría de juegos. Cada jugador tiene a su disposición un conjunto de estrategias. Si un jugador elige una acción con probabilidad 1 entonces está jugando una estrategia pura. Esto la diferencia de la estrategia mezclada, donde jugadores individuales eligen una distribución de probabilidad sobre muchas acciones.







Fuentes consultadas:



Bibliografía:
Investigación de operaciones Hillier Lieberman. Séptima edición. 
Investigación de operaciones Hamdy A. Taha. Séptima Edición. 

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